ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ЧИСЛЕННОГО ПОДХОДА ПОСТРОЕННОГО НАНЕЙРОННЫХ СЕТЯХ С ПРЯМОЙ СВЯЗЬЮ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

На сегодняшний день разработано множество методов численного решения задач, в основе которых лежат обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и уравнения в частных производных (УЧП). Самые распространенные из них это конечно-разностный метод, метод конечных элементов и метод конечных объемов. В данной работе реализован альтернативный численный подход, базирующийся на аппроксимации функций нейронными сетями с прямой связью. Полученное с использованием такого подхода решение, представляeт собой дифференцируемое аналитическое выражение чем существенно отличается от других методов, предлагающих либо дискретное решение, либо решение с ограниченной дифференцируемостью. В работе проведено исследование влияния параметров нейронной сети (таких, как функции активации и веса в функции ошибок) на скорость сходимости и точность полученной аппроксимации решения для трех типов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, интегрируемые дифференциальные уравнения в частных производных и неинтегрируемые дифференциальные уравнения в частных производных. В качестве модельных уравнений в работе рассматривались уравнения в частных производных Кортевега–де Вриза и Кудряшова–Синельщикова, а также обыкновенное дифференциальное уравнений второго порядка. В каждом вышеописанном случае найдены оптимальные соотношения между весовыми коэффициентами. Установлены наиболее эффективные функции активации для каждой задачи.

1. Самарский А.А. и др. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8 (5). С. 1025.

2. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ “Астра”. 1988. Препринт.

3. Домбровский Л.А., Баркова Л.Г. // Теплофизика высоких температур, 1986. Т. 24 (4). С. 762.

4. Вабищевич П.Н., Самарский А.А. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40 (5). С. 726.

5. Ryabov P.N. // J. Mech. Phys. Solids. 2015. V. 76. P. 180.

6. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений: учеб. пособие для вузов. 1978. Москва: Наука.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. 1975. Москва: Мир.

8. Ковеня В.М., Чирко Д.В. Методы конечных разностей и конечных объемов для решения задач математической физики. 2013. Новосибирск: НГУ. С. 24–26.

9. Muratov R.V., Kudryashov N.A., Ryabov P.N. // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul. 2021. V. 101. P. 105858.

10. Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. // IEEE Trans. Neural Networks. 1998. V. 9 (5). P. 987.

11. Fang Y. et al. // Chaos, Solitons Fract. 2022. V. 158. P. 112118.

12. Ketkar N., Moolayil J. Automatic Differentiation in Deep Learning. Deep Learning with Python. 2021. Berkeley: Apress.

13. Кудряшов H.А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие. 2010. Долгопрудный: Издательский Дом “Интеллект”.

14. Li J., Chen Y. // Commun. Theor. Phys. 2020. V. 72 (11). P. 115003.

15. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. // Phys. Lett. A. 2010. V. 374. P. 2011.

16. Ryabov P.N. // Appl. Math. Comput. 2010. V. 217 (7). P. 3585.